一致率の考察

隠れた変数が存在しなかったことから、AI曰く「古典的にはcos²(θ/2)の一致率を作れない。」のであるが、可能な限り寄せてみた結果がどのようになるのか気になるので考えてみました。

アリスAとボブBは同じ相対角度0°の測定では完全反相関の異なるスピン、180°では同じスピンの向きの完全相関となる。アリスAと同じ電子を測定するアリスダッシュA’について相対角度0°で測定していたら同じスピンの向きとなるが、180°ではどうなるか考えてなかったので一応確かめておきたい。
ボブBの絶対角度180°(=SG装置の角度180°)で測定したとき↑であったらなら、アリスAも絶対角度180°測定した(つまり相対角度0°)なら完全反相関で↓となる。AとA’が測定するのは同じ電子なのでA’も↓となる。よってAとA’の測定する相対角度が180°なら完全反相関となる。

当HPにおける定義：

このとき測定相対角度0°と180°のときスピンの向きは100%相関するので、これを相関律と呼ぶ。

また測定対象と測定ゲージ(射影)が同じであるなら無指向性、そうでないなら指向性と呼ぶ。

スピン項因子(過半数でスピンの向きを確定する因子)の扇状の範囲をスプリットと呼ぶ。

・一致率は基本的に測定されるスプリット角が小さいほど高くなる。

・無指向性と指向性の一致率の相違は射影か、スプリット角度に依存する。

下記式を見る限り右辺がcosθなので射影の相違のみと考えられる。

記事：CHSH不等式の考察では無指向性のスピン向因子を±対称的な描像に限定していたが、非対称の場合も含めると修正する。

・スプリット角と測定相対角との間には小さい方の角度が測定結果に反映されるという特徴を持つ。

下記図においてAとA’が、スピン向因子を360°測定したときのAとA’の不一致率を考えてみる。
スプリット角<測定相対角のとき、さらに測定相対角が大きくなっても不一致率は変わらずスプリット角度依存であることがわかる。
スプリット角>測定相対角のとき、さらにスプリット角が大きくなっても不一致率は変わらず測定相対角依存であることがわかる。

ここからは指向性=cosθとしよう。

・無指向性とcosθの射影による一致率の相違は測定範囲にスプリット角60°～90°が含まれることで生じる。

スプリット角の最小は0°か60°と推測されるが、0°だと無指向性の一致率が高くなりそうな気がするので今回は暫定的に60°が最小角しておく。
つまり60°のとき固有状態でかつ測定された状態である(上記図で赤が↑スピンなら↑の固有状態)。
したがって測定されてない状態はスプリット角60°を超える値から360°までとなる。

射影がcosθで例えばスプリット角61°を測定したとき↑因子はほとんど中央に来るまでは射影密度が1以上の過半数とならない。スプリット角70°であれば測定の中央付近であれば↑の射影密度が過半数となる。スプリット角80°なら中央からいくらかブレても過半数となる。やがてスプリット角90°を超えたところで↑の射影密度が常に過半数となる。

これは測定から得られる60°～90°におけるスプリット角は実際のスプリット角より小さいことを意味している。
どういうことかと言うと。。。
スプリット角61°であるとスプリットの射影密度が中央にあるとき↑因子は1以上過半数であるが、スピン向因子をわずかに回転させるだけで過半数割れして↓スピン判定となるので、このわずかに回転させた分が測定から得られるスプリット角である。スプリット角90°で実際のスプリット角と測定から得られるスプリット角がようやく一致する。

無指向性では同じ条件としてスプリット角90°を固有状態と仮定しておこう。90°を超えるスプリット角が含まれる測定では全て過半数となるのでcosθのような実際のスプリット角と測定から得られるスプリット角のズレは生じない。

一致率は測定されるスプリット角が小さいほど高くなるので射影の特徴から
cosθの方が無指向性より一致率が高くなると考えられる。
しかし実際には測定の相対角度90°を境にcosθの方が一致率が低くなる。

これはAとA’の場合、相関律から測定による相対角度180度の測定では完全反相関になるよう↑↓因子が反転しているためである。
(アリスAとボブBなら相対角度0°が以下の描像に該当する。）

よって一致率は測定されるスプリット角が小さいほど測定相対角が0°～90°のときは高くなるが、相関律に従う描像では90°～180°のときは不一致率が逆に高くなる。

以上から相関率に従いかつスプリットのある以下の描像が想定される。
相対角45°のときのは1つ、90°は2つ、135°は3つ、180°は4つ隣と比較する。

しかし上記描像だと特定角度による一意的な状態しか測定されないため、一致率を得るデータとして不十分である。

そこで相関律を保持しながら360°回転させたパターンも追加する。

どうやら、このあたりがcos²(θ/2)の描像を寄せる限界のようである。
スピン向因子はそれぞれが異なった描像であるので、SG装置で測定される前は共通したスピン項因子の描像が推定される。しかしそれを推し量ることがどうにもできそうにない。

また測定角度によりスピン向因子の描像が異なるということは、これが測定前ではなく測定によって異なった描像へ変化したと考えられる。これを測定は開始されたがまだ完了しておらず固有状態になっていない一粒子系時間の事象と考えたがやはり袋小路となる。

もしこの描像で量子相関を説明するならば、スピン向因子の↑↓が振動していて、アリス側の測定によるスピンの向きが確定した瞬間にボブ側で測定されるスピン向因子の振動が反相関で止まるといったところだろうか。とは言え測定前が不明なら描像を持たない方がシンプルである。

ここまで論理的に構築してきたつもりだが厳密にはまだ不完全な箇所がある。
cosθの測定では↑↓スピンが50%となる無相関となる点が存在する。これだと相関律は満たされない。
あるいは無相関というのは全て固有状態なのであろうか🤔？。

追記：2段階SG実験のスピン向因子の振動パターンはこちらへ修正しておきます。

シュテルン-ゲルラッハの実験の記事の補足3

AIに質問していたところ、x力(エックスりょく)に関連した話に発展したので今回はそれを書こうと思います。
※AIの回答は信憑性に欠けるところや相手に同調することがあるので、鵜呑みにせず読んでください。

先の記事でも書いたが、現行量子論では測定前のスピンの向きは定まってないとするため考察が出発しない。
ではスピンの向きが定まっている場合どうなるのか？このような質問をしてみた。
※AIの回答は簡潔に編集してます。

私
「シュテルン-ゲルラッハ装置(以降SG装置)を電子が通過中に装置を回転させたらどうなるの？」

AI
「①磁場方向がゆっくり変わると、スピンは「磁場の固有状態」に留まり続ける。
つまり、スピンの向きが装置の回転に合わせてゆっくり回っていく。
→断熱追従（adiabatic following アディアバティック フォローイング）

②急速回転ではスピンは追従しない。磁場方向を急に変えても電子のスピン状態はそのまま。
→サドン近似（sudden approximation）」

私
「ゆっくりと急速の境界は？」

AI
「磁場方向の変化速度 ≪ ラーモア歳差運動の速さ
なら断熱（ゆっくり）
逆なら非断熱（急速）」

ラーモア歳差運動の角周波数は1 秒間に300億回転くらいの超高速なので現実的には超高速回転するSG実験は不可能であるが、
いくつかの間接的な実験と理論的に導かれるらしい。

また厳密には急速回転の影響により軌道のブレは生じるが測定されるスピンが中間値を取っている訳でないという。
AI
「電子のスピンは+ħ/2（↑）、−ħ/2（↓）の2 値しか存在しない。」

私
「じゃあ急速回転したとき磁場に対して電子スピンおよび磁気モーメントは傾いているってこと？」

AI
「はい、SG装置からみるとスピンは斜めになっている。
そして斜めのスピンは、
新しい磁場の中でωL=2μBBℏのラーモア周波数で歳差運動を始める。
瞬間 t=0：斜めのまま
t>0：新しい磁場のまわりを歳差運動」

「スピンは斜めを向いているのに、測定すると必ず 2 値に分かれる。」

「スピンが回転前の磁場方向に対して↑だったなら急速回転後の↑となる確率はcos²(θ/2)。」

「ラーモア歳差運動はスピンが固有状態のとき0°or 180°であり歳差運動は確認できません。」

以上がだいたいの会話である。

やはり要所は「スピンの向きは連続的に変えられるが測定結果は2値しかない。」という部分である。
今回は測定系の回転前後の設定であるため、測定前はスピンの向きが確定してないとする理由でこの矛盾を回避することができない。

そのためスピンの概念を2つに分類する必要がある。
傾きが連続的なスピンと傾きが2値のみの測定スピンである。

エックス力+スピン=測定スピン±

gif動画は灰色で示した磁場の周りを歳差運動しながらスピンとその歳差角度が変化するものである。
(😓歳差運動の周回は作成が困難なので省いています。)

2段階SG実験において1段目SG装置で↑スピン、2段目SG装置で相対角が90°未満であれば電子スピンは↑寄りで突入するが必ずしも↑にならないため、
測定により歳差運動が上へ向かう状態と↑維持状態を測定スピン+、歳差運動が下へ向かう状態と↓維持状態を測定スピン-と仮定する。
この動画は磁場勾配が生じて測定が始まった瞬間の一粒子系時間、ラーモア周波数を検知できる事象である。

ひとつAIの回答の中で矛盾点があることに気がついた。
急速回転後に磁場に対して角度θでラーモア歳差運動するという話と
測定系ではラーモア歳差運動は角度θが確認できないという点である。

これに関して次の仮説を立てた。

不均一磁場の中でも回転がラーモア周波数より十分速ければ、その瞬間だけスピンは測定されていないのと同じ振る舞いをする。

イメージとしては
例えばジェットコースターが宙返りをするとき一瞬無重力になるように、
測定系の不均一磁場であっても急速回転により電子に対して一瞬だけ均一磁場になるのではないだろうか。
追記6.15：いや地上にいる観測者の天地が急速にひっくり返る方が近い。

これは2段階SG実験の類推によるものである。
なぜなら一致率=cos²(θ/2)であることから、
急速回転前後というのは2段階SG実験の装置の1段目と2段目に相当する。
よって急速回転中は1段目と2段目の間の自由空間(または均一磁場)に相当するのではないかと考えたのである。

シュテルン-ゲルラッハの実験の記事の補足2

現行では測定前の電子のスピンの向きを想定しないので、過去にアスペの実験の背景に関してよく理解していたなら、
シュテルン-ゲルラッハの実験の記事の補足 を書くことはなかったのかもしれない。

今回もCHSHの考察に続き、隠れた変数を仮定した場合のアプローチをしてみる。

sg装置(シュテルン-ゲルラッハの装置)へ電子を2回通過させる二段測定実験を取り上げる。
1つ目をSG1、2つ目をSG2とおく。
(SG1で軌道が分かれた延長上にSG2が配置されている。)

実験結果はSG1、SG2測定の
相対角0°では100%同じ向き、
相対角180°では100%反対向き、
相対角90°では50%の無相関となる。一致率はcos^2(θ/2)。

記事：CHSHの考察で、もつれ電子の描像を記述したが、これは二段測定実験では一致しない。
スピン向因子の傾きがSG1、SG2において終始変わらないと仮定すると、
SG2の相対角が小さいときは一致率以上にSG1と同じ向きになってしまうからである。
そのため非もつれ電子の描像は別に考える必要がある。

実験結果と一致する非もつれ電子の描像はスピン向因子±が振動しているものと考えられる。
(GIF動画作成の手間がかかる(_ _;)ので無指向性のスピン向因子にしてます。
SG1とSG2間は不明なのでカット。振動域も不明。左上のカウントは作成アプリの不具合に対応したもの。)

追記：2026年07月04日 一致率の考察にて振動パターンを修正

新着記事を投稿しました。

chsh不等式と隠れた変数の一可能性についての新着記事を投稿しました。

フェルマーの最終局面51

P.57の補足は文字式を識別することでθ_1とθ_4が2項入れ替え関係にある事を示したものだが、識別というのは数学的な説明としてしっくりこないので別の方法を追記します。

変数l,m等を使ってフェルマー方程式の2項積-lyx^{p-1}・-mzx^{p-1}≡y^pz^p mod δが成り立つと定義する。

フェルマー方程式の2項積y^pz^p mod θ_1を定義すると連動してx^pz^p mod θ_1、x^py^p mod θ_1が導出される。(ｐ.18)
よって(17)(28)(39)は同値である。

フェルマー方程式の2項積y^pz^p mod θ_4を定義すると連動してx^pz^p mod θ_4、x^py^p mod θ_4が導出される。(ｐ.39)
よって(54)(65)(76)は同値である。

定義によりy^p項とz^p項の2項入れ替えペアは法θ_1とθ_4の条件である。・・・1️⃣
※しかし他2つが2項入れ替えペアの関係であるか確かめる必要がある。

θ_1の2項入れ替えペアを調べる目的で、ペア共通なGeneral solution conditionsを適用すると

(ｐ.19)

右辺の因数左はθ_1で割り切れるので因数右がθ_1の2項入れ替えペアに該当する。

因数右は変形すると同値なので全て同じ法で割り切れる。・・・2️⃣

1️⃣より一番上の因数右はθ_4で割り切れるので2️⃣より2番目・3番目もθ_4で割り切れる。

よって上式は法θ_1またはθ_4におけるフェルマー方程式の2項積から導出されているので

Solution conditionsより3式とも法θ_1の2項入れ替えペアがθ_4に対応する。

と言えます。

マシュー・ヘイジ

先日、知人からメールが来たのを機に四日市へ行ってきました。

メール主の名はマシュー・ヘイジ。花屋を経営する傍ら変な研究をしているおっさんです。

何やら若い頃に新型ツェッペリンの動力装置の着想を得たのであるが、
大掛かりな装置を建造することは到底難しいので、そのときは頭の片隅に置いといたのだそう。

また数年前にコンピューターで仮想実験ができる物理エンジンというものを知ったものの操作など敷居が高く、そのときも断念したそうです。

しかし最近になりAI(人工知能)が発展したので、その助けを借りれば念願の試作が可能かもとツェッペリンM-H26の設計にチャレンジしたのです。

とは言っても設計意図がAIになかなか伝わらず、ときには斜め上の解釈をしていたり、必要な設計が除かれていたり、結果にこじつけたりと苦労したようで試作結果の方も条件次第で安定しなかったそうです。

結論を言えば物理エンジンのコードの全容を理解し、かつ物理について造詣がないと何とも確定的なことは言えないが。という旨でした。

マシューは装置のしくみについての明言は避けたがこんなことを言ってました。

「この装置で重力下を浮上させるのは相当厳しい。」

「なぜなら宇宙空間の運動ですらどうしても構造上燃費が悪いからである。」

「どんな感じかって？」「例えるなら空を歩行するイメージだな。」

「試作ではカメレオンのような進捗だったよw。だったらチャリンコのほうがずっといい。」

それでもマシューはどこか満足しているようだった。

しばらく談笑したのち私は四日市を跡にした。

フェルマーの最終局面50

ケアレスミスがあったので修正の投稿を日を置いて何度か行っていたのですが、ようやく反映されました。バージョン5となります。

バージョン4のP.82においてβ=3とおくと3｜yであり3⊥yを仮定できないというケアレスミスです。

フェルマーの最終局面49

バージョン4を投稿しました。

Solution conditionsをGeneral solution conditionsの項の配置違いのように
記述していた部分について削除しました。
辿ってきた過程で思ったことを惰性で載せてましたが、よく考察すると正しくはなかったからです。
Solution conditionsは2項の積についてに関するものであり、
これはGeneral solution conditionsに適用できます。

前回の2^nパターンの不備ですが、
そもそもδを定義できないのは厳しいなと思ったのですが何とか凌げた気がします。

フェルマーの最終局面48

ページが長く最終までチェックする集中力がなかったので実は飛ばしていました。最近になって根気強く再チェックしてたのですが、やはり突貫工事だったためか書き間違いなどがあり修正してたところ、不備をみつけました。

一つがδ=19で他はｓに奇数を含まない2^nパターンです。p=3のとき成り立たないオイラーの証明を使えばいいのですが、フェルマーはそれを使ってないと思うので困りましたね。。。

フェルマーの最終局面47

前バージョンで補足2がモヤモヤしている感があるので

修正してバージョン3を投稿しました。

ここで補足の補足説明を。

Proposition19は、「(23)の一つの式でフェルマーの命題合同式x^p+y^p≡z^p mod θ_4が定まるとき
自動的に他2式も定まる。」というものであり、それを今回確認していきます。

(23)の式ではθ_1のとき、自動的に定まるのは示すことができる。

(97)の式でθ_4のとき、自動的に定まるのは示すことができるが
(23)の2項入れ替えた各項と同値であることを示す必要がある。

上記で連動まで示せる。追記で

⇒前までは示せるので、θ_1式の2項入れ替えの対応がθ_4なので⇒以降の式が対応する。