デッドロックなので離れます。またいつか挑戦するかもしれないので備忘録を残して起きます。
私がこの命題でずっと悩ましいと感じているのは、恒等性です。つまり
文字式をこねくり回しているとA=Aのように当たり前の結果になってしまうことです。
それで証明の哲学を少し。
まず(a+b)^2=a^2+2ab+b^2のような恒等式があります。
命題が与えられると不定方程式が得られます。例えば
命題：(a+b)^2=2abとなる自然数は存在するか
解は
0=a^2+b^2
a^2=b^2
a=b であれば良い\\
仮に命題の不定方程式を命題不定方程式とします。
1.命題不定方程式ではその命題を解くことはできない。
と考えます。上記は命題の不定方程式で解けているように見えますが
(a+b)^2=2abとなる自然数が存在するならば、(a+b)^2=2abとなる自然数は存在する。
では解けていることにはならないという事です。
上記命題を解けるのは0=a^2+b^2と置いたためです。
これを仮に派生不定方程式とします。命題不定方程式を置くと派生的に得られるからです。
次に√2は無理数であるかという命題では
無理数でなければ有理数ということになるので√2=a/bと置けます。ここまでが命題不定方程式です。
両辺を2乗します。2=a^2/b^2これが派生不定方程式です。
フェルマーの最終定理では命題不定方程式は
x^n+y^n\=z^n (n>2)
派生不定方程式は例えば
右辺がp^2の約数を持つので左辺もp^2の約数を持つ。
指数がp=3のときx,y,zのいずれかがpの約数を持つのは直ぐにわかります。3xy(x+y)
指数がp=5のときもx,y,zのいずれかがpの約数を持ちます。7以上はわかりませんでしたが・・
とりあえずx,y,zの文字式だけでは無理でも素数を使うことで何か判定することはできました。
ただ素数を使った代数的アプローチは十分に行われて駄目だったので、やはりx,y,zの文字式から
不定方程式を得られればと考えています。普通に考えれば恒等性が解消できそうにないですが
第五の演算を使ってから等号を結ぶようなことができれば不定方程式が得られるのではないかと思っています。
ただ、どのようにしたらいいのか見当がつきません。
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